Наукові конференції України, Інновації молоді в машинобудуванні 2020

Розмір шрифту: 
Визначення параметрів конічної поверхні за множиною точок
Я. Ю. Болячевець, Л. І. Ковальова

Остання редакція: 2020-05-18

Анотація


Задача визначення параметрів конічної поверхні за множиною точок виникає при контролі, реконструкції та розпізнаванні виду поверхонь оброблюваних деталей, тому розробка алгоритмів розв'язання таких задач становить практичний інтерес.

У роботі запропонований алгоритм рішення задачі, реалізований в системі Mathcad.

Конічна поверхня є поверхнею другого порядку і в прямокутній декартовій системі координат Oxyz задається рівнянням:

F(x, y, z) = a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2 a34 z + a44 = 0.

Для будь-якої поверхні другого порядку існує прямокутна система координат О1x1y1z1, в якій конічна поверхня буде описуватися канонічним рівнянням:

F1(x1, y1, z1)= (x1)2/a2 + (y1)2/b2 – (z1)2/c2 = 0.

Параметрами конічної поверхні, що підлягають визначенню, будемо вважати параметри форми і розташування в просторі конічної поверхні, а саме: величини коефіцієнтів a, b, c, центр канонічної системи координат (x0, y0, z0) і вектори канонічного базису S1, S2, S3.

Вихідні дані задачі формувалися з використанням прототипу конічної поверхні (деталі-зразка) відомих розмірів і розташування. На конічній поверхні обиралась множина точок (xi, yi, zi), i = 1,2, .. N, координати яких є N-мірними векторами X, Y, Z у вихідній системі координат Oxyz. Вектори X, Y, Z вимірювались у CAD-системі Autodesk Inventor, в якій була побудована кругова конічна поверхня з віссю обертання Z, діаметром основи Dном = 80 мм, висотою hном = 100 мм, вершиною в точці (x00, y00, z00) = (20,10,15). Координати точок вимірювалися в п'яти площинах, перпендикулярних осі обертання. У кожній площині довільно вибиралися 10 точок.

Для моделювання похибок вимірювань була застосована функція rnd), що генерує випадкові числа з рівномірним розподілом на інтервалі [0, ε]. Таким чином, помилка вимірювання координат точок буде дорівнювати ± ε /2.

Послідовність рішення задачі містить два етапи. На першому етапі визначаються коефіцієнти a11, a22, a33, a12, a13, a23, a14, a24, a34, a44 з умови мінімізації суми квадратів відхилень за всіма заданими точками від конічної поверхні.

На другому етапі визначаються: центр (x0, y0, z0) канонічної системи координат, власні числа λ1, λ2, λ3 матриці A квадратичної форми, параметри a, b, c канонічного рівняння конічної поверхні: a2 = 1/| λ1 |; b2 = 1/| λ2 |; c2 = 1/| λ3 |, вектори канонічного базису S1, S2, S3, відповідні власним числам.

В результаті обчислень отримані: при ε=0,002 a=15.2891, b=15.289, c=38.2226, (x0,y0,z0)=(20.0001,10.0012,14.9989), S1=(-0.962,0.2729,0), S2=(-0.2729,-0.962,0), S3=(0,0,1), Dном=80.002 мм; при ε=0,005 a=15.2908, b=15.2905, c=38.2273, (x0,y0,z0)=(20.0004,10.002,14.9959), S1=(-0.9901,0.1402,0), S2=(-0.1402,-0.9901,0), S3=(0,0,1), Dном=79.9979 мм.

Порівняння номінальних і розрахункових параметрів конічної поверхні підтверджує працездатність розробленого алгоритму.


Ключові слова


поверхня другого порядку; конічна поверхня; апроксимація; канонічне рівняння

Посилання


Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии /Александров П.С. – М.: Наука, 1968. –   912 с.

Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С Бахвалов, Н. П Жидков и др. – М. Лаб.Баз. Знаний. 2002.

Дьяконов В. Mathcad 2000:учебный курс /Дьяконов В.– СПб: Питер, 2000. – 592 с.

Сигорский В.П. Математический аппарат инженера /Сигорский В.П.  –  К., Техника, 1975. –  766 с.